/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Liniowy

Zadanie nr 4414640

Dane są funkcje liniowe g i h określone wzorami: g(x ) = ax + b i h(x ) = bx + a . Wiadomo, że funkcja g jest rosnąca, a h malejąca.

  • Wyznacz pierwszą współrzędna punktu przecięcia wykresów tych funkcji.
  • Oblicz liczby a i b wiedząc, że wykresy funkcji g i h są prostymi prostopadłymi, a punkt ich przecięcia leży na osi Ox .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Z podanych informacji wiemy, że a > 0 i b < 0 .

  • Liczymy (porównujemy y -ki)
    ax + b = bx+ a x(a − b) = a− b ⇐ ⇒ x = 1.

    Powyżej skorzystaliśmy z faktu, że a ⁄= b , który wynika z nierówności a > 0 i b < 0 .  
    Odpowiedź: x = 1

  • Wiemy teraz dodatkowo, że ab = − 1 oraz, że punkt wspólny wykresów leży na osi Ox . Z poprzedniego podpunktu wiemy, pierwsza współrzędna tego punktu jest równa 1, czyli musi on mieć współrzędne (1,0) . Podstawiamy te liczby do wzoru pierwszej funkcji.
    0 = a + b ⇒ b = −a .

    Z równości ab = − 1 mamy więc a2 = 1 , czyli a = 1 i b = − 1 (obrazek).

    PIC

     
    Odpowiedź: a = 1 , b = − 1

Wersja PDF