Zadanie nr 4272119

Wykres funkcji -x−-3-- f(x) = x2−x−6 przesunięto o wektor → u = [− 2;1] , a następnie przesunięty wykres odbito symetrycznie względem początku układu współrzędnych. Otrzymano wykres pewnej funkcji . Znajdź wzór funkcji i wyznacz jej dziedzinę.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na przesunięcie funkcji y = f (x) o wektor → v = [a,b] :

y = f(x − a) + b.

Sposób I

W naszej sytuacji, po przesunięciu, otrzymamy funkcję

(x + 2) − 3 x− 1 g (x) = f(x + 2 )+ 1 = -------2---------------+ 1 = --2---------+ 1. (x + 2) − (x+ 2)− 6 x + 3x − 4

Odbicie wykresu względem początku układu, to to samo co wykonanie dwóch odbić: najpierw względem osi , potem względem . Przekształceniu temu odpowiada zmiana wzoru:

−x − 1 x + 1 h(x) = −g (−x ) = − -2----------− 1 = -2----------− 1 . x − 3x − 4 x − 3x − 4

Aby wyznaczyć dziedzinę tej funkcji, musimy sprawdzić, dla jakich -ów mianownik się zeruje.

2 x − 3x − 4 = 0 Δ = 9 + 16 = 25 3 − 5 x 1 = ------= − 1 2 x = 3-+-5-= 4 . 2 2

Zatem dziedzina to zbiór R ∖ {− 1,4} .

Sposób II

Znajdźmy pierwiastki mianownika danego wzoru funkcji.

x2 − x − 6 = 0 Δ = 1+ 24 = 25 1− 5 1+ 5 x = -----= − 2 ∨ x = ------= 3. 2 2

Zatem

x− 3 x− 3 1 -2---------= ---------------= -----. x − x − 6 (x + 2)(x − 3) x + 2

Musimy być jednak ostrożni i pamiętać, że dziedziną powyższej funkcji jest R ∖{− 2 ,3 } .

Po przesunięciu o wektor [− 2;1] otrzymamy funkcję

1 1 y = ----------+ 1 = ------+ 1. x + 2 + 2 x+ 4

Ponieważ przesunęliśmy wykres w lewo o dwie jednostki, dziedziną tej funkcji będzie zbiór R ∖ {− 4,1} .

Podobnie jak poprzednio zauważamy, że odbiciu względem początku układu współrzędnych odpowiada zmiana wzoru funkcji postaci y = −f (−x ) , czyli otrzymamy funkcję