/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Wykładniczy

Zadanie nr 4713954

Wykres funkcji x y = a ⋅b powstaje z wykresu funkcji 1- y = 4x przez jednokładność o środku w punkcie (1,0) i skali 2 . Wyznacz liczby a i b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Możemy zacząć od naszkicowania opisanej sytuacji.

PIC

Ponieważ do wyznaczenia mamy dwa parametry, potrzebujemy dwóch punktów na wykresie funkcji y = a⋅bx . Nie jest trudno je znaleźć: jeżeli weźmiemy jakikolwiek punkt P na wykresie funkcji y = -1x 4 , to jest on środkiem odcinka o końcach S = (1,0) i R , gdzie R jest odpowiadającym punktem wykresu funkcji x y = a ⋅b . Wystarczy zatem wybrać dwa proste punkty P i wyliczyć odpowiadające punkty R .

Jeżeli weźmiemy P 1 = (1, 1) 4 to ma to być środek odcinka o końcach (1,0) i R 1 , więc

( ) 1- R 1 = 1,2 .

Jeżeli weźmiemy P2 = (0,1) to ma to być środek odcinka o końcach (1,0) i R , więc

R 2 = (− 1,2).

Podstawiając współrzędne punktów R 1 i R 2 do wzoru y = a ⋅bx otrzymujemy układ równań

{ 12 = ab 1 2 = a⋅ b.

Mnożąc równania stronami mamy 2 1 = a . Z rysunku jest jasne, że a musi być dodatnie (wykres ma być powyżej osi Ox ), więc a = 1 . Stąd b = 12 .  
Odpowiedź: a = 1 , b = 1 2

Wersja PDF