Zadanie nr 7485369

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji wykładniczej x f(x) = a dla x ∈ R .

Wykres ten przekształcono w symetrii środkowej względem punktu (1,− 1) , a następnie w symetrii osiowej względem prostej x = − 2 . Otrzymano w ten sposób wykres funkcji g(x) = b ⋅ax + c .

Wyznacz liczby i naszkicuj wykres funkcji .
Odczytaj z wykresu rozwiązanie nierówności .

Rozwiązanie

Rozpocznijmy od wyznaczenia . Z wykresu widzimy, że f(− 1) = 3 , czyli

3 = a−1 = 1- ⇐ ⇒ a = 1. a 3

Szukamy funkcji postaci , więc wystarczy znaleźć dwa punkty na jej wykresie, aby wyznaczyć i (mamy dwie niewiadome, więc potrzebujemy dwóch równań). Można wybrać różne punkty – my zobaczymy na co przejdą punkty i .

Najpierw symetria środkowa względem punktu . Szukamy punktów i takich, żeby punkt był środkiem odcinków i .

$( ) (1,− 1) = 0-+-xA-′, 1-+-yA′ ⇒ A′ = (2,− 3) 2 2 ( ′ ′) (1,− 1) = −-1-+-xB-, 3+--yB- ⇒ B′ = (3,− 5). 2 2$

Teraz znajdujemy obrazy i punktów i w symetrii względem prostej . Punkty te będą miały takie same drugie współrzędne jak punkty i , a ich pierwsze współrzędne muszą być takie, żeby środki odcinków i leżały na prostej . Mamy więc

$xA ′ + xA ′′ 2 + xA ′′ ′′ − 2 = ---------- = -------- ⇒ A = (− 6,− 3) 2 2 − 2 = xB′ +-xB′′= 3+--xB′′ ⇒ B′′ = (− 7,− 5). 2 2$

Teraz łatwo wyznaczyć liczby i – podstawiamy współrzędne punktów i do wzoru funkcji .

$( ( ) −6 |{ − 3 = b ⋅ 1 + c = b ⋅36 + c (3) −7 |( − 5 = b ⋅ 1 + c = b ⋅37 + c. 3$

Porównując z obu równań mamy

$6 7 b⋅ 3 + 3 = b⋅ 3 + 5 − 2 = b ⋅36(3− 1) − 1 = b ⋅36 ⇒ b = − -1-. 3 6$

Zatem

$6 c = − 3− b⋅3 = − 3+ 1 = − 2.$

Odpowiedź:
Ponieważ
$( ) g(x ) = − 1--⋅ 1-− 2 = − -1---+ 2 , 36 3x 3x+6$

wykres funkcji powstaje z wykresu funkcji przez przesunięcie o wektor , a następnie odbicie względem osi . Bez trudu szkicujemy wykres.
Z wykresu widać, że rozwiązaniem nierówności jest przedział .
Odpowiedź: