/Konkursy

Zadanie nr 1170579

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przez środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AB , która przecina boki CA i CB odpowiednio w punktach E i D .
Wykaż, że |ED | = |EA |+ |DB | .

PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy odcinki AS i BS .

PIC

Ponieważ S jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC , odcinki AS i BS są zawarte w dwusiecznych kątów A i B . Zatem ∡SAB = ∡SAE oraz ∡SBA = ∡SBD . Ponadto, z równoległości odcinków ED i AB mamy

∡ESA = ∡SAB = ∡SAE ∡DSB = ∡SBA = ∡SBD .

To oznacza, że trójkąty ASE i BDS są równoramienne, czyli

EA = ES DB = DS .

Stąd

ED = ES + DS = EA + DB .

Sposób II

Tym razem niech K i L będą punktami styczności okręgu wpisanego z bokami AC i BC , oraz niech M i N będą rzutami punktów E i D na bok AB .

Zauważmy, że trójkąty prostokątne AME i EKS mają taki sam kąt ∡MAE = ∡SEK . Ponadto naprzeciw tego kąta w obu trójkątach są odcinki tej samej długości SK = EM = r , gdzie r – promień okręgu wpisanego. W takim razie trójkąty te są przystające i SE = EA . Analogicznie uzasadniamy, że trójkąty BND i DLS są przystające, więc SD = DB . W takim razie

EA + DB = SE + SD = ED .
Wersja PDF