Zadanie nr 3337037
Wielomian 
jest wielomianem stopnia 5 i spełnia warunki: 
oraz 
. Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu 
są liczbami całkowitymi.
Rozwiązanie
Sposób I
Przypuśćmy, że współczynniki wielomianu 
są liczbami całkowitymi i niech
Zapisując warunki 
i 
otrzymujemy
Jeżeli dodamy te równości stronami otrzymamy
Zauważmy teraz, że każda z liczb 
jest podzielna przez 3; podzielna przez 3 jest też prawa strona. To oznacza, że 
musi być liczbą podzielną przez 3, czyli przez 3 musi dzielić się 
. To jednak jest sprzeczność z równością
bo w takiej sytuacji lewa strona dzieli się przez 3, a prawa nie.
Sposób II
Dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości
Zauważmy teraz, że lewa strona jest parzysta, a prawa nie. Sprzeczność.
Sposób III
Zadanie robi się banalne, jeżeli znamy następujący fakt:
Jeżeli 
jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych liczb całkowitych 
liczba 
dzieli się przez 
.
Fakt ten łatwo uzasadnić posługując się wzorem skróconego mnożenia na 
.
W naszej sytuacji mamy 
i 
, czyli gdyby wielomian 
miał współczynniki całkowite, to mielibyśmy podzielność liczby
przez
co stanowi sprzeczność.
