/Konkursy

Zadanie nr 3575826

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż że jeżeli x,y,z są liczbami rzeczywistymi oraz x + y + z = 1 , to x 2 + y2 + z2 ≥ 13 .

Rozwiązanie

Sposób I

Na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową

∘ ------------- x2 +-y2 +-z-2≥ x-+-y-+-z, 3 3

mamy

∘ ------------- x2 +-y2 +-z2 1- 3 ≥ 3 2 2 2 x--+-y--+-z- ≥ 1- 3 9 2 2 2 1- x + y + z ≥ 3.

Sposób II

Skorzystamy z oczywistej nierówności

a2 + b2 = (a − b)2 + 2ab ≥ 2ab.

Liczymy

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2xy − 2xz − 2yz = = 1 − (2xy + 2xz + 2yz) ≥ ≥ 1 − (x2 + y2 + x2 + z2 + y2 + z2) 3(x2 + y2 + z2) ≥ 1 1 x2 + y2 + z2 ≥ -. 3
Wersja PDF