Zadanie nr 4750074

Szkicujemy trapez.

Jedną z podstawowych własności trapezu, jest podobieństwo trójkątów i (tak jest bo mają takie same kąty). W dodatku skala podobieństwa wynosi . Znając długości przekątnych, możemy więc wyliczyć długości odcinków na jakie dzieli przekątne ich punkt przecięcia .

Ogólnie, gdybyśmy chcieli teraz policzyć pole trapezu, czyli pola czterech trójkątów na które dzielą go przekątne, to powinniśmy wyliczyć (np. z twierdzenia cosinusów) i potem wyliczyć z niego sinus, a na koniec policzyć pola trójkątów ze wzoru z sinusem. W tym przykładzie sytuacja jest jednak wyjątkowo prosta, bo okazuje się, że kąta jest prosty (gdybyśmy tego nie zauważyli, to wyszłoby to z twierdzenia cosinusów). Sprawdźmy, że tak jest istotnie (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa).

Skoro wszystkie cztery trójkąty są prostokątne i znamy długości ich przyprostokątnych, bez trudu liczymy ich pola.

Niech będzie takim punktem półprostej , że . Wtedy czworokąt jest równoległobokiem, więc . To oznacza, że trójkąt jest trójkątem o bokach 3, 4, 5, jest to więc trójkąt prostokątny o polu

Zauważmy teraz, że

(tak jest, bo każdy z tych trójkątów ma podstawę długości i wysokość równą odległości między prostymi i ). W takim razie

Niech i będą rzutami punktów i na podstawę oraz niech .

Wtedy

Piszemy teraz twierdzenia Pitagorasa w trójkątach i .

Porównujemy teraz wartości z obu równań i mamy

Otrzymaliśmy ujemną wartość , co w pierwszej chwili może wyglądać dziwnie, ale jak chwilę się zastanowimy, to nie jest trudno ustalić dlaczego tak się stało. Powód jest prosty: nasz rysunek był zły – ujemna wartość wskazuje na to, że punkt powinien być na lewo od , a nie na prawo (prawy rysunek). Spróbujmy powtórzyć powyższy rachunek, ale używając prawego rysunku. Zauważmy najpierw, że oraz . Piszemy twierdzenia Pitagorasa.

Porównujemy teraz wartości z obu równań i mamy

Obliczamy teraz wysokość trapezu.

Pole trapezu jest więc równe.

 
Odpowiedź: 6