/Konkursy

Zadanie nr 4945083

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 2 n + 2023 jest podzielna przez 8.

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to możemy ją zapisać w postaci n = 4k + 1 lub n = 4k+ 3 . W pierwszym przypadku

n 2 + 2 023 = (4k + 1)2 + 2023 = 16k2 + 8k + 2024 = 8(2k2 + k+ 253),

a w drugim

2 2 2 2 n + 20 23 = (4k + 3) + 2023 = 16k + 24k + 2032 = 8(2k + 3k+ 254).

W obu przypadkach otrzymaliśmy więc liczbę podzielną przez 8.

Sposób II

Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to możemy ją zapisać w postaci n = 2k + 1 . Mamy wtedy

2 2 2 n + 2023 = (2k+ 1) + 2023 = 4k + 4k + 2 024 = 4k(k + 1) + 8 ⋅253.

Teraz wystarczy zauważyć, że liczba k (k+ 1 ) jest zawsze parzysta – bo jest to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych. To oznacza, że faktycznie liczba n 2 + 20 23 jest zawsze podzielna przez 8.

Wersja PDF