Zadanie nr 6229783

Odcinek jest środkową trójkąta ABC . Udowodnij, że |AB |+ |AC | > 2|AS | .

Rozwiązanie

Sposób I

Niech będzie obrazem punktu w symetrii względem punktu .

Otrzymany czworokąt ′ ABA C jest równoległobokiem (bo ′ A C = AB i A ′B = AC ), którego przekątne przecinają się w punkcie (bo jest środkiem przekątnej ). W takim razie

2AS = AA ′ < AB + BA ′ = AB + AC .

Sposób II

Umieśćmy trójkąt ABC w układzie współrzędnych. Ponieważ układ współrzędnych możemy wybrać dowolnie, możemy założyć, że B = (0,0) i C = (2 ,0) (umieszczamy układ na płaszczyźnie tak, aby: bok leżał na osi , punkt był w początku układu, oraz ustalamy jednostkę na osiach tak, aby |BC | = 2 ). Mamy zatem B+C- S = 2 = (1,0) oraz A = (x,y) dla pewnych x ,y ∈ R . Będziemy teraz przekształcać interesującą nas nierówność w sposób równoważny.

|∘AB-|+-|AC |∘ >-2-|AS-|------ ∘ -------------- 2 2 2 2 2 2 2 x + y + (2 − x ) + y > 2 (1 − x) + y /() 2 2 ∘ ---------------------------- 2 2 2 2 x + y + 2 (x 2 + y2)(4 − 4x + x2 + y2)+ 4 − 4x + x + y > 4 − 8x + 4x + 4y ∘ ------------------------------------------------ 2 4x 2 − 4x 3 + x4 + x2y2 + 4y2 − 4xy2 + x 2y 2 + y 4 > − 4x+ 2x2 + 2y2 / : 2 ∘ ------------------------------------------ 4x 2 − 4x 3 + x 4 + 2x 2y2 + 4y2 − 4xy2 + y4 > x2 + y2 − 2x / ()2 4x2 − 4x3 + x4 + 2x 2y 2 + 4y 2 − 4xy2 + y4 > x4 + y4 + 4x 2 + 2x 2y2 − 4x3 − 4xy2 2 4y > 0.

To jednak jest oczywiste, bo punkt nie może leżeć na osi , więc y ⁄= 0 .

Sposób III

Tak jak poprzednio umieszczamy trójkąt ABC w układzie współrzędnych, ale tym razem umieśćmy układ tak, aby A = (0 ,0 ) i aby bok był równoległy do osi , czyli B = (x,y) i C = (z,y) dla pewnych x,y,z ∈ R . Mamy więc B+C (x+z ) S = -2-- = --2-,y i tak jak poprzednio przekształcamy interesującą nas nierówność w sposób równoważny.

|AB |+ |AC | > 2|AS | ∘ --------------- ∘ -------- ∘ ------- ( x + z )2 x 2 + y 2 + z2 + y2 > 2 ------ + y2 /()2 2 2 2 ∘ ------------------- 2 2 2 2 2 x + y + 2 (x 2 + y 2)(z2 + y 2)+ z + y > x + 2xz+ z + 4y ∘ ------------------------ 2 x2z2 + x2y2 + y2z2 + y4 > 2xz + 2y 2 / : 2 ∘ ------------------------ x 2z2 + x 2y2 + y2z2 + y4 > xz + y2 / ()2 x2z2 + x2y2 + y2z2 + y4 > x2z2 + 2xzy2 + y4 2 2 2 2 2 2 x y + y z > 2xzy / : y x2 − 2xz + z2 > 0 2 (x − z) > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, bo B ⁄= C . Po drodze dzieliliśmy przez 2 y – mogliśmy to zrobić, bo punkt nie może leżeć na prostej , wiec y ⁄= 0 .