Zadanie nr 8572907
Dla jakich liczb całkowitych 
liczba 
jest także liczbą całkowitą?
Rozwiązanie
Postępujemy tak jakby to był zwykły ułamek, najpierw robimy z niego ułamek właściwy, czyli dzielimy licznik przez mianownik z resztą. My to zrobimy grupując wyrazy.
Tak więc podane wyrażenie jest równe
Liczba ta będzie całkowita tylko wtedy, gdy 
jest dzielnikiem 3, czyli jest równe -3,-1,1 lub 3. Można oczywiście rozwiązać 4 równania kwadratowe, ale prościej jest skorzystać z faktu, że 
też jest całkowite. W szczególności liczba 
jest iloczynem dwóch liczb całkowitych odległych o 2, a więc na pewno nie jest równa 1 (bo ma przynajmniej jeden dzielnik różny od 1). Jeżeli 
, to jedna liczba musiałaby być dodatnia a jedna ujemna i ponieważ są odległe o 2, to nie da się ich tak dobrać.
Jeżeli 
to 
.
Pozostaje przypadek 
. Mamy wtedy dwa rozwiązania 
i 
.
Odpowiedź: 
