/Konkursy

Zadanie nr 8915345

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność

√ ----- √ ----- √ ---- 4( a3b3 + b3c3 + c3a3) ≤ 4c3 + (a+ b)3.

Rozwiązanie

Sposób I

Spróbujemy przkształcić podaną nierówność zwijając do pełnego kwadratu.

3 3 2 2 3 √ -3-3- √ -3-3- √ -3-3 0 ≤ 4c +√ a-+ 3√a-b+ 3a√b-+ b − √4(--a-b + b c + c√a-) =- = ( a3 + b3 − 2 c3)2 − 2 a3b3 + 3a2b+ 3ab2 − 4 a3b3 = √ --- √ --- √ -- √ ----- = ( a3 + b3 − 2 c3)2 + 3(a2b+ ab2 − 2 a3b3) = √ --- √ --- √ -- √ ---- √ ---- = ( a3 + b3 − 2 c3)2 + 3( a2b− ab2)2.

Jest jasne, że nierówność ta jest zawsze spełniona.

Sposób II

Ponieważ nierówność jest jednorodna (stopień każdego jednomianu to 3), więc łatwo możemy pozbyć się jednej niewiadomej, powiedzmy c , dzieląc przez 3 c .

Osobno rozważmy najpierw przypadek c = 0 .

√ ----- 3 √ 4 a3b3 ≤ (a + b) / 3 √3-√ --- 4 ab ≤ a + b .

Nierówność ta łatwo wynika z nierówności między średnimi √ --- 2 ab < a + b .

Jeżeli c ⁄= 0 , to podzielmy obie strony przez 3 c .

∘ ------------ ∘ ------- ( ) ( )3 ( ) 3 ∘ (--)-- ( ) 3 4 a- 3 b- + 4 b- + 4 a-3 ≤ 4 + a-+ b- . c c c c c c

Podstawiamy teraz p2 = a c i q2 = b c i mamy

4p3q3 + 4p 3 + 4q 3 ≤ 4+ p6 + 3p2q4 + 3p4q2 + q6 6 6 3 3 3 3 2 4 4 2 0 ≤ p + q + 4 − 4p − 4q − 4p q + 3p q + 3p q 0 ≤ (p3 + q3 − 2)2 − 6p3q3 + 3p 2q4 + 3p 4q2 0 ≤ (p3 + q3 − 2)2 + 3p2q2(− 2pq + p2 + q2) 3 3 2 2 2 2 0 ≤ (p + q − 2) + 3p q (p − q ).
Wersja PDF