/Konkursy

Zadanie nr 8976573

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD . Kąt ACB ma miarę ∘ 3 0 , a kąt ADB ma miarę 45∘ . Jaka jest miara kąta BAD ?

PIC

A) 4 5∘ B) 30∘ C) 25 ∘ D) 20 ∘ E) 35∘

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość BH i połączmy punkt H z punktem D .

PIC

Popatrzmy na trójkąt prostokątny BHC . Odcinek HD jest w nim środkową, więc DH = BD = DC (bo każdy z tych odcinków jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie BHC ; okrąg ten ma środek w punkcie D ). To jednak oznacza, że trójkąt BHD jest równoboczny (bo jest równoramienny i ma kąt ∘ 60 ). Zatem ∘ ∡HDA = 15 . Z drugiej strony

∡DAH = 180∘ − (30∘ − ∡ADC ) = 15∘.

To oznacza, że trójkąt AHD jest równoramienny, czyli AH = HD = BH , co z kolei oznacza, że trójkąt AHB jest równoramienny i prostokątny. Zatem ∘ ∡BAH = 4 5 , czyli ∘ ∡BAD = 30 .  
Odpowiedź: B

Wersja PDF