Zadanie nr 9765802

Uzasadnić, że prostych może podzielić płaszczyznę na maksymalnie n(n+-1) + 1 2 obszarów.

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli oznaczymy maksymalną liczbę obszarów, na które może podzielić płaszczyznę prostych, to mamy a1 = 2 oraz an+ 1 = an + (n+ 1) . Spróbujmy wyjaśnić tę drugą równość. Prowadząc n+ 1 prostą, przetniemy co najwyżej wcześniej narysowanych prostych, czyli n + 1 poprzednio istniejących obszarów.

Każdy z tych obszarów dzielimy na dwa, więc dochodzi n + 1 nowych obszarów. Zatem

an = an −1 + n = an− 2 + (n− 1)+ n = = ⋅⋅⋅ = a1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n = 1 + 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n = n-(n-+-1) = 1 + 2 .

Sposób II

Powyższe rozwiązanie mogliśmy zgrabnie zapisać przy pomocy indukcji.

Dla n = 1 mamy jedną prostą, która dzieli płaszczyznę na 2 obszary. Z drugiej strony

1⋅(1-+-1)- 2 + 1 = 2,

czyli się zgadza.

Załóżmy teraz, że prostych dzieli płaszczyznę na co najwyżej n(n+1) 2 + 1 obszarów. Podobnie jak w poprzednim sposobie zauważamy, że prowadząc n + 1 prostą tworzymy co najwyżej n+ 1 nowych obszarów (bo prosta ta przecina co najwyżej prostych, czyli n + 1 obszarów). Zatem n + 1 prostych dzieli płaszczyznę na co najwyżej