Zadanie nr 7633264

Niech a = log183 . Wykaż, że 4a-- log 681 = 1−a .

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, oraz jego szczególnego przypadku

log y = logy-y-= --1---. x logy x logy x

Sposób I

Zauważmy, że dany warunek możemy zapisać w postaci

---1--- −1 a = log 18 3 = log 18 /() 3 1-= log 1 8 = log 9 + log 2 = 2 + log 2 a 3 3 3 3 1- 1-−-2a- log 32 = a − 2 = a .

Przekształcamy teraz lewą stronę równości, którą mamy udowodnić - zamieniamy podstawę logarytmu na 3.

log3-81 -------4------- ----4---- --4a-- log681 = lo g 6 = log 3 + log 2 = 1−-2a= 1 − a . 3 3 3 1 + a

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę wzoru, który mamy udowodnić.

-4a--- --4log18-3- ----log-18-34----- 1− a = 1 − log 3 = lo g 18 − log 3 = 18 18 18 = log-1881 = lo-g1881-= log 8 1. log 18 log 18 6 6 18 3

Sposób III

Przekształcamy lewą stronę wzoru, który mamy udowodnić – zmieniamy podstawę na 18.

lo g 81 log 34 4log 3 4a log 681 = ---18---= ---18-18-= ---------18------ = -----. log18 6 log18 3 log181 8− log 183 1− a