/Szkoła średnia/Liczby/Logarytmy

Zadanie nr 9947210

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby naturalne a,b,c są większe od 1 oraz są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x spełnia warunek

--1---+ --1---+ --1---= 1. lo gax lo gb x lo gcx

Wykaż, że x jest sześcianem liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Będziemy oczywiście korzystać ze wzoru

lo g y logx y = ---z-- lo gzx

na zmianę podstawy logarytmu. Na razie nie przejmujmy się założeniem o ciągu geometrycznym i spróbujmy uprościć daną równość (zmieniamy podstawy wszystkich logarytmów na x ).

--1--- --1--- --1--- --1-- --1-- --1-- 1 = log x + log x + lo g x = logxx+ logxx + logxx = a b c logxa logxb logxc = log a + log b + log c = log (abc ). x x x x

To oznacza, że x = abc . Nadszedł czas, by skorzystać z tego, że ciąg (a,b,c) jest ciągiem geometrycznym. W szczególności 2 b = ac i mamy

3 x = abc = (ac) ⋅b = b .

Zatem rzeczywiście x jest sześcianem liczby naturalnej b .

Wersja PDF