Zadanie nr 1017060
Wykaż, że równanie ma tylko jedno rozwiązanie które jest liczbą wymierną.
Rozwiązanie
Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków równania jest . Dzielimy teraz lewą stronę przez
. My jak zwykle zrobimy to grupując wyrazy
![x4 + x3 + x2 − 3 = (x 4 − x 3)+ (2x 3 − 2x2)+ (3x2 − 3x) + (3x − 3) = 3 2 = x (x− 1)+ 2x (x − 1) + 3x(x − 1 )+ 3(x − 1 ) = = (x 3 + 2x 2 + 3x+ 3)(x − 1).](https://img.zadania.info/zad/1017060/HzadR2x.gif)
Wystarczy teraz udowodnić, że wielomian w pierwszym nawiasie nie ma pierwiastków wymiernych. W tym celu wystarczy sprawdzić, że żaden z dzielników wyrazu wolnego, czyli nie jest jego pierwiastkiem. Jest to oczywiste dla
i
(bo suma na pewno jest dodatnia). Sprawdzamy jeszcze dla
i
.
![− 1+ 2− 3+ 3 = 1 − 27+ 18 − 9 + 3 = − 15.](https://img.zadania.info/zad/1017060/HzadR8x.gif)
Uwaga. Warto podkreślić, że nie jest jedynym rozwiązaniem danego równania – co wyraźnie widać na wykresie jego lewej strony.
Z naszego rozumowania wynika jednak, że drugi pierwiastek tego równania nie jest liczbą wymierną.