Zadanie nr 7853557
Wykaż, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Rozwiązanie
Sposób I
Spróbujmy tak przekształcić lewą stronę równania, aby występujące tam minusy znalazły się pod kwadratem.
![2 3 4 1− 2x+ 4x − 8x + 16x = = (1− x)2 + 3x2 − 8x3 + 16x 4 = = (1− x)2 + 2x2 + x2(1 − 8x + 16x 2) = 2 2 2 2 = (1− x) + 2x + x (1 − 4x) .](https://img.zadania.info/zad/7853557/HzadR0x.gif)
Widać teraz, że jest to suma wyrażeń nieujemnych, które w dodatku nie mogą się jednocześnie zerować. Wyrażenie to jest więc zawsze dodatnie.
Sposób II
Zauważmy, że lewa strona danego równania to suma kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie . Możemy ją zatem obliczyć korzystając ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. Zanim jednak zastosujemy ten wzór, musimy sprawdzić, czy przypadkiem iloraz
nie jest równy 1. Jeżeli jednak
to
i łatwo sprawdzić, że lewa strona równania jest dodatnia.
Możemy zatem założyć, że i zastosować wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
![1 − (− 2x)5 ------------= 0 1− (− 2x) 1 + 25 ⋅x5 ---------- = 0 1 + 2x 1 + 25 ⋅ x5 = 0 1 x5 = − -5- 2 x = − 1, 2](https://img.zadania.info/zad/7853557/HzadR6x.gif)
co jednak jest sprzeczne z naszym założeniem . W takim razie podane równanie jest sprzeczne.