/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 4/Różne

Zadanie nr 7853557

Wykaż, że równanie 2 3 4 1 − 2x + 4x − 8x + 16x = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Spróbujmy tak przekształcić lewą stronę równania, aby występujące tam minusy znalazły się pod kwadratem.

2 3 4 1− 2x+ 4x − 8x + 16x = = (1− x)2 + 3x2 − 8x3 + 16x 4 = = (1− x)2 + 2x2 + x2(1 − 8x + 16x 2) = 2 2 2 2 = (1− x) + 2x + x (1 − 4x) .

Widać teraz, że jest to suma wyrażeń nieujemnych, które w dodatku nie mogą się jednocześnie zerować. Wyrażenie to jest więc zawsze dodatnie.

Sposób II

Zauważmy, że lewa strona danego równania to suma kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie q = − 2x . Możemy ją zatem obliczyć korzystając ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. Zanim jednak zastosujemy ten wzór, musimy sprawdzić, czy przypadkiem iloraz q nie jest równy 1. Jeżeli jednak − 2x = 1 to 1 x = − 2 i łatwo sprawdzić, że lewa strona równania jest dodatnia.

Możemy zatem założyć, że x ⁄= − 1 2 i zastosować wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

1 − (− 2x)5 ------------= 0 1− (− 2x) 1 + 25 ⋅x5 ---------- = 0 1 + 2x 1 + 25 ⋅ x5 = 0 1 x5 = − -5- 2 x = − 1, 2

co jednak jest sprzeczne z naszym założeniem x ⁄= − 12 . W takim razie podane równanie jest sprzeczne.

Wersja PDF