Wielomian x^3-9x+4=0 ma 3 pierwiastki rzeczywiste. Oblicz sumę... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 1015844

Zadanie nr 1015844

Wielomian $3 x − 9x + 4 = 0$ ma 3 pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzorów Viète’a dla wielomianu 3 stopnia $ax 3 + bx 2 + cx + d$ . Są one następujące

x1 + x2 + x3 = − b- a x x + x x + x x = c- 1 2 2 3 3 1 a d x1x 2x3 = − --. a

Wzory te łatwo wyprowadzić wymnażając lewą stronę równości

a(x − x )(x − x )(x − x ) = ax3 + bx2 + cx + d. 1 2 3

W naszej sytuacji mamy

x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1x2 + x2x3 + x3x1 = − 9 x 1x2x3 = − 4.

Liczymy $-1- 1-- -1- x2x3-+-x1x3-+-x1x-2 9- x + x + x = x x x = 4 . 1 2 3 1 2 3$

Odpowiedź: $9 4$
Ponieważ iloczyn wszystkich pierwiastków jest ujemny to albo wszystkie trzy są ujemne albo dokładnie jeden. Wszystkie trzy nie mogą być jednak ujemne, bo ich suma jest równa 0.
Odpowiedź: Dwa są dodatnie
Liczymy $x12+ x 22 + x 23 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 18 1 1 --2----2----2 = ---. x 1 + x 2 + x3 1 8$

Odpowiedź: $1- 18$
Liczymy $2 2 2 -1-+ 1-+ -1-= (x2x3)--+-(x1x3)--+-(x1x2)--= x2 x22 x23 x 2x 22x23 1 2 12 2 2 = (x2x-3 +-x-1x3 +-x1x2)-−-2x1x2x3-−-2x-1x2x3 −-2x1x2x-3= (x1x 2x 3)2 = 81-−-2x-1x2x3(x1-+-x2-+-x3) = 81. 16 16$

Odpowiedź: $81 16$