Wykaż, że jeżeli wielomian W(x)=x^3+ax+b ma pierwiastek dwukrotny,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 5962866

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Różne

Zadanie nr 5962866

Wykaż, że jeżeli wielomian $3 W (x) = x + ax + b$ ma pierwiastek dwukrotny, to $4a3 + 27b 2 = 0$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Zadanie najprościej jest rozwiązać przy pomocy pochodnej. Łatwo uzasadnić, że jeżeli $x0$ jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu to jest też pierwiastkiem jego pochodnej. W naszej sytuacji mamy

W ′(x ) = 3x2 + a,

daje układ równań

{ x3+ ax0 + b = 0 02 3x0 + a = 0.

Zapiszmy pierwsze równanie w postaci $x 0(3x20 + 3a)+ 3b = 0$ i podstawmy za $x2 0$ z drugiego równania

−-3b- x0(−a + 3a)+ 3b = 0 ⇒ x0 = 2a .

Podstawiamy to do drugiego równania.

( ) 2 3 −-3b- + a = 0 2a 27b2 + 4a3 = 0.

Sposób II

Jeżeli wielomian ma mieć pierwiastek podwójny to musi być postaci $(x− p)(x − q)2$ . Zatem

x3 + ax + b = (x − p )(x2 − 2xq + q2) x3 + ax + b = x 3 − 2x 2q+ q2x− px2 + 2pqx − pq2 2 2 2 2 ax + b = − 2x q+ q x− px + 2pqx − pq ax + b = −x 2(2q + p )+ (q2 + 2pq )x − pq2.

Równość ta oznacza, że $p = − 2q$ oraz

{ a = q2 + 2pq = q2 − 4q 2 = − 3q2 b = −pq 2 = 2q 3.

Teraz liczymy

4a 3 + 27b 2 = − 4⋅2 7q6 + 27⋅ 4q6 = 0.

Dla ciekawskich, wyrażenie

( )3 ( ) 2 Δ = a- + b- = --1---(4a3 + 27b2) 3 2 4 ⋅27

nazywa się wyróżnikiem wielomianu $x3 + ax+ b$ i podobnie jak dla trójmianu kwadratowego decyduje o ilości jego rozwiązań. Jeżeli $Δ > 0$ to równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Jeżeli $Δ = 0$ to dla $b = 0$ równanie ma jeden potrójny pierwiastek $x = 0$ , a dla $b ⁄= 0$ równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste i jeden z nich jest podwójny. Jeżeli natomiast $Δ < 0$ to równanie ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste. Ponadto jest dość proste podstawienie sprowadzające dowolne równanie stopnia 3 do równania postaci $3 x + ax+ b$ , więc w tym sensie powyższy komentarz dotyczy wszystkich równań stopnia 3. Jeżeli komuś mało, to niech przeczyta poradnik o wzorach Cardano.