Sposób I
Zadanie najprościej jest rozwiązać przy pomocy pochodnej. Łatwo uzasadnić, że jeżeli jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu to jest też pierwiastkiem jego pochodnej. W naszej sytuacji mamy
daje układ równań
Zapiszmy pierwsze równanie w postaci i podstawmy za
z drugiego równania
Podstawiamy to do drugiego równania.
Sposób II
Jeżeli wielomian ma mieć pierwiastek podwójny to musi być postaci . Zatem
Równość ta oznacza, że oraz
Teraz liczymy
Dla ciekawskich, wyrażenie
nazywa się wyróżnikiem wielomianu i podobnie jak dla trójmianu kwadratowego decyduje o ilości jego rozwiązań. Jeżeli
to równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Jeżeli
to dla
równanie ma jeden potrójny pierwiastek
, a dla
równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste i jeden z nich jest podwójny. Jeżeli natomiast
to równanie ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste. Ponadto jest dość proste podstawienie sprowadzające dowolne równanie stopnia 3 do równania postaci
, więc w tym sensie powyższy komentarz dotyczy wszystkich równań stopnia 3. Jeżeli komuś mało, to niech przeczyta poradnik o wzorach Cardano.