Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7670833

Dany jest wielomian  3 W (x) = 2x + x + 1

  • Uzasadnij, że wielomian W (x ) nie ma dodatnich pierwiastków.
  • Uzasadnij, że wielomian W (x ) nie ma pierwiastków wymiernych.
  • Uzasadnij, że wielomian W (x ) ma co najmniej jeden pierwiastek.
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Ponieważ współczynniki wielomianu są dodatnie to W (x) > 0 dla x > 0 .
  • Pierwiastki wymierne muszą być postaci p q , gdzie p dzieli 1, a q dzieli 2. Uwzględniając poprzedni podpunkt, w rachubę wchodzą dwie liczby − 1 i − 12 . Łatwo sprawdzić, że żadana z nich nie jest pierwiastkiem.
  • Ponieważ wielomian ma stopień 3 i dodatni współczynnik przy najwyższej potędze, jego wykres "zaczyna" się w − ∞ i dąży do + ∞ (mówiąc odrobinę bardziej precyzyjnie  lim W (x) = − ∞ x→− ∞ i xl→im+∞ W (x) = + ∞ ). Musi więc gdzieś przeciąć oś Ox (tak naprawdę, tak samo się uzasadnia, że każdy wielomian stopnia 3 ma co najmniej jeden pierwiastek).
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!