Dany jest wielomian W(x) =2x^3+x+1 Uzasadnij, że wielomian W(x)... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 7670833

Zadanie nr 7670833

Dany jest wielomian $3 W (x) = 2x + x + 1$

Rozwiązanie

Ponieważ współczynniki wielomianu są dodatnie to $W (x) > 0$ dla $x > 0$ .
Pierwiastki wymierne muszą być postaci $p q$ , gdzie $p$ dzieli 1, a $q$ dzieli 2. Uwzględniając poprzedni podpunkt, w rachubę wchodzą dwie liczby $− 1$ i $− 12$ . Łatwo sprawdzić, że żadana z nich nie jest pierwiastkiem.
Ponieważ wielomian ma stopień 3 i dodatni współczynnik przy najwyższej potędze, jego wykres "zaczyna" się w $− ∞$ i dąży do $+ ∞$ (mówiąc odrobinę bardziej precyzyjnie $lim W (x) = − ∞ x→− ∞$ i $xl→im+∞ W (x) = + ∞$ ). Musi więc gdzieś przeciąć oś $Ox$ (tak naprawdę, tak samo się uzasadnia, że każdy wielomian stopnia 3 ma co najmniej jeden pierwiastek).