/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Różne

Zadanie nr 3389966

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Uzasadnij, że jeżeli współczynniki wielomianu W (x ) są liczbami całkowitymi i W (1) jest liczbą nieparzystą, to liczba nieparzysta nie jest pierwiastkiem wielomianu W (x) .

Rozwiązanie

W zadaniu chodzi o prostą obserwację, że jeżeli k jest nieparzystą liczbą całkowitą to liczby W (k) i W (1) mają tę samą parzystość. Aby to uzasadnić wystarczy zauważyć, że każdy składnik sumy

W (k) = ankn + an−1kn− 1 + ⋅⋅⋅+ a1k + a0.

ma taką samą parzystość jak odpowiadający składnik sumy

W (1) = an + an−1 + ...+ a1 + a0.

Mówiąc jeszcze dokładniej, jeżeli k jest nieparzyste, to o tym czy a ki i jest parzyste czy nie, decyduje parzystość ai .

Zatem W (k) , tak jak W (1) , jest liczbą nieparzystą, nie może więc być równe 0.

Wersja PDF