Zadanie nr 3389966
Uzasadnij, że jeżeli współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi i
jest liczbą nieparzystą, to liczba nieparzysta nie jest pierwiastkiem wielomianu
.
Rozwiązanie
W zadaniu chodzi o prostą obserwację, że jeżeli jest nieparzystą liczbą całkowitą to liczby
i
mają tę samą parzystość. Aby to uzasadnić wystarczy zauważyć, że każdy składnik sumy
![W (k) = ankn + an−1kn− 1 + ⋅⋅⋅+ a1k + a0.](https://img.zadania.info/zad/3389966/HzadR3x.gif)
ma taką samą parzystość jak odpowiadający składnik sumy
![W (1) = an + an−1 + ...+ a1 + a0.](https://img.zadania.info/zad/3389966/HzadR4x.gif)
Mówiąc jeszcze dokładniej, jeżeli jest nieparzyste, to o tym czy
jest parzyste czy nie, decyduje parzystość
.
Zatem , tak jak
, jest liczbą nieparzystą, nie może więc być równe 0.