/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Różne

Zadanie nr 8430509

Wykaż, że równanie 8 2 4 x + x = 2(x + x − 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że

8 2 4 8 4 2 4 2 2 x + x − 2x − 2x + 2 = (x − 2x + 1)+ (x − 2x+ 1) = (x − 1) + (x − 1) = [ 2 2 ]2 2 = (x + 1)(x − 1) + (x− 1) = [ ]2 = (x2 + 1)(x− 1)(x + 1) + (x − 1)2 = [ ] = (x− 1)2 (x2 + 1)2(x + 1)2 + 1

Wyrażenie w drugim nawiasie jest oczywiście dodatnie, więc jedynym miejscem zerowym tego wielomianu jest x = 1 .

Wersja PDF