/Konkursy/Zadania/Równania/Wielomianowe/Różne

Zadanie nr 9197566

Wykaż, że jeżeli wielomian 6 4 2 W (x) = x + ax + bx + c jest podzielny przez trójmian x2 + x+ 1 , to jest również podzielny przez trójmian x 2 − x + 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli podany wielomian jest podzielny przez wielomian 2 x + x + 1 , to mamy równość

x 6 + ax 4 + bx 2 + c = (x2 + x+ 1)Q (x).

Ponieważ lewa strona tej równości jest funkcją parzystą, to podstawiając w tej równości − x zamiast x mamy

x 6 + ax 4 + bx2 + c = (x2 − x + 1)Q (−x ),

co dowodzi, że W (x) dzieli się również przez x 2 − x + 1 .

Wersja PDF