Zadanie nr 3337037
Wielomian jest wielomianem stopnia 5 i spełnia warunki:
oraz
. Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu
są liczbami całkowitymi.
Rozwiązanie
Sposób I
Przypuśćmy, że współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi i niech

Zapisując warunki i
otrzymujemy

Jeżeli dodamy te równości stronami otrzymamy

Zauważmy teraz, że każda z liczb jest podzielna przez 3; podzielna przez 3 jest też prawa strona. To oznacza, że
musi być liczbą podzielną przez 3, czyli przez 3 musi dzielić się
. To jednak jest sprzeczność z równością

bo w takiej sytuacji lewa strona dzieli się przez 3, a prawa nie.
Sposób II
Dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

Zauważmy teraz, że lewa strona jest parzysta, a prawa nie. Sprzeczność.
Sposób III
Zadanie robi się banalne, jeżeli znamy następujący fakt:
Jeżeli jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych liczb całkowitych
liczba
dzieli się przez
.
Fakt ten łatwo uzasadnić posługując się wzorem skróconego mnożenia na .
W naszej sytuacji mamy i
, czyli gdyby wielomian
miał współczynniki całkowite, to mielibyśmy podzielność liczby

przez

co stanowi sprzeczność.