Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6504779

Wyznacz zbiór wartości parametru m , dla których równanie: co s2x − cos x = m ma rozwiązania.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Musimy wyznaczyć zbiór wartości funkcji

f(x ) = cos2x − c osx.

Równanie będzie miało rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy m będzie elementem zbioru wartości tej funkcji.

Na mocy wzoru na cos 2x mamy

f(x) = cos2x − co sx = 2 cos2 x− 1− cosx.

Jeżeli podstawimy teraz t = cosx to mamy funkcję kwadratową

f(t) = 2t2 − t− 1 ,

określoną na przedziale ⟨− 1,1⟩ (takie wartości przyjmuje t = cos x ). Zauważmy, że ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane w górę, a jej wierzchołek ma współrzędne

 ( ) ( ) (x ,y ) = −b-, −-Δ = 1,− 9- . w w 2a 4a 4 8

Pierwsza współrzędna wierzchołka znajduje się w przedziale ⟨− 1,1⟩ , więc najmniejsza wartość funkcji będzie równa y = − 9 w 8 . Największą wartość otrzymamy w jednym z końców przedziału ⟨− 1,1⟩ , w którym? – liczymy i sprawdzamy.

f(− 1) = 2 + 1 − 1 = 2 f(1) = 2 − 1 − 1 = 0.

Zatem zbiorem wartości funkcji y = f(x ) jest przedział ⟨− 9,2⟩ 8 i dokładnie dla takich wartości parametru m dane równanie ma rozwiązania.

Na koniec wykresy funkcji y = f(x) i y = f (t) .


PIC


 
Odpowiedź: m ∈ ⟨− 98,2⟩

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!