Zadanie nr 6504779

Wyznacz zbiór wartości parametru , dla których równanie: co s2x − cos x = m ma rozwiązania.

Rozwiązanie

Musimy wyznaczyć zbiór wartości funkcji

f(x ) = cos2x − c osx.

Równanie będzie miało rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy będzie elementem zbioru wartości tej funkcji.

Na mocy wzoru na cos 2x mamy

f(x) = cos2x − co sx = 2 cos2 x− 1− cosx.

Jeżeli podstawimy teraz t = cosx to mamy funkcję kwadratową

f(t) = 2t2 − t− 1 ,

określoną na przedziale ⟨− 1,1⟩ (takie wartości przyjmuje t = cos x ). Zauważmy, że ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane w górę, a jej wierzchołek ma współrzędne

( ) ( ) (x ,y ) = −b-, −-Δ = 1,− 9- . w w 2a 4a 4 8

Pierwsza współrzędna wierzchołka znajduje się w przedziale ⟨− 1,1⟩ , więc najmniejsza wartość funkcji będzie równa y = − 9 w 8 . Największą wartość otrzymamy w jednym z końców przedziału , w którym? – liczymy i sprawdzamy.