Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3337037

Wielomian W jest wielomianem stopnia 5 i spełnia warunki: W (3) = 1 oraz W (−3 ) = 2 . Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są liczbami całkowitymi.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Przypuśćmy, że współczynniki wielomianu W są liczbami całkowitymi i niech

W (x ) = a x5 + a x4 + a x3 + a x2 + a x + a . 5 4 3 2 1 0

Zapisując warunki W (3) = 1 i W (− 3) = 2 otrzymujemy

{ 35a + 3 4a + 3 3a + 3 2a + 3a + a = 1 5 4 3 2 1 0 −3 5a5 + 3 4a 4 − 33a 3 + 32a2 − 3a1 + a0 = 2 .

Jeżeli dodamy te równości stronami otrzymamy

2 ⋅34a4 + 2 ⋅32a2 + 2a0 = 3.

Zauważmy teraz, że każda z liczb 2⋅3 4a4, 2 ⋅32a2 jest podzielna przez 3; podzielna przez 3 jest też prawa strona. To oznacza, że 2a0 musi być liczbą podzielną przez 3, czyli przez 3 musi dzielić się a0 . To jednak jest sprzeczność z równością

35a5 + 34a4 + 3 3a3 + 3 2a2 + 3a 1 + a0 = 1,

bo w takiej sytuacji lewa strona dzieli się przez 3, a prawa nie.

Sposób II

Dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie dochodzimy do równości

2 ⋅34a + 2 ⋅32a + 2a = 3. 4 2 0

Zauważmy teraz, że lewa strona jest parzysta, a prawa nie. Sprzeczność.

Sposób III

Zadanie robi się banalne, jeżeli znamy następujący fakt:

Jeżeli W jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnych liczb całkowitych x ⁄= y liczba W (x) − W (y ) dzieli się przez x − y .

Fakt ten łatwo uzasadnić posługując się wzorem skróconego mnożenia na xn − yn .

W naszej sytuacji mamy x = 3 i y = − 3 , czyli gdyby wielomian W miał współczynniki całkowite, to mielibyśmy podzielność liczby

W (3) − W (− 3) = 1− 2 = − 1

przez

x− y = 3 + 3 = 6 ,

co stanowi sprzeczność.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!