Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8156810

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej x wartość wielomianu W (x) = x5 − 5x3 + 4x jest liczbą podzielną przez 120.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Musimy rozłożyć podany wielomian na czynniki i pokazać, że dzielą się one przez 1 20 = 23 ⋅3⋅ 5 .

Rozkładamy

x5 − 5x3 + 4x = x(x4 − 5x2 + 4) = 2 2 2 2 2 = x((x − 2 ) − x ) = x(x − 2 − x)(x − 2 + x).

Rozkładamy teraz wielomiany kwadratowe w nawiasach, pierwiastki pierwszego (liczymy z Δ -y) to -1 i 2, a pierwiastki drugiego to 1 i -2. Mamy zatem

x 5 − 5x 3 + 4x = x(x + 1 )(x− 2)(x− 1)(x + 2) = = (x− 2)(x− 1)x(x + 1)(x + 2).

Jeżeli x jest liczbą naturalną to otrzymane wyrażenie jest iloczynem pięciu kolejnych liczb całkowitych. Wśród tych pięciu kolejnych liczb na pewno jest jedna podzielna przez 3 i jedna podzielna przez 5. Musimy jeszcze policzyć dwójki. Wśród tych pięciu liczb jest co najmniej jedna podzielna przez 4 i oprócz tego jeszcze jedna parzysta. Iloczyn dzieli się więc przez 8.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!