Zadanie nr 2521932
Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie , dla których równanie
ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.
Rozwiązanie
Dane równanie
![2 2 x + x + 1 − k = 0](https://img.zadania.info/zad/2521932/HzadR0x.gif)
to równanie kwadratowe, obliczmy jego wyróżnik.
![2 2 Δ = 1 − 4(1 − k ) = 4k − 3.](https://img.zadania.info/zad/2521932/HzadR1x.gif)
Ponieważ współczynniki w powyższym równaniu są całkowite, pierwiastki równania
![√ -- −b--±---Δ- 2](https://img.zadania.info/zad/2521932/HzadR2x.gif)
mogą być liczbami całkowitymi tylko wtedy, gdy jest liczbą całkowitą, czyli wtedy, gdy
dla pewnej liczby całkowitej
. Mamy więc warunek
![Δ = m 2 4k2 − 3 = m 2 2 2 4k − m = 3 (2k− m )(2k + m) = 3.](https://img.zadania.info/zad/2521932/HzadR6x.gif)
Ponieważ z założenia liczby są całkowite, jedynym możliwym rozwiązaniem powyższej równości jest
![{ 2k − m = 1 2k + m = 3.](https://img.zadania.info/zad/2521932/HzadR8x.gif)
Dodając równania stronami mamy , czyli
. Równanie przybiera wtedy postać
![x2 + x = 0](https://img.zadania.info/zad/2521932/HzadR11x.gif)
i oczywiście jego pierwiastki są liczbami całkowitymi.
Odpowiedź: