Zadanie nr 2981527
Wyznacz wszystkie pary , gdzie
i
są liczbami całkowitymi spełniającymi równanie
![1-+ 1-+ 1--= 1. x y xy 2](https://img.zadania.info/zad/2981527/HzadT3x.gif)
Rozwiązanie
Przekształcamy dane równanie
![1 1 1 1 y+ x+ 1 --= --+ --+ ---= ---------- 2 x y xy xy xy = 2x + 2y+ 2.](https://img.zadania.info/zad/2981527/HzadR0x.gif)
Sposób I
Próbujemy przekształcić dane równanie, tak aby otrzymać z jednej strony iloczyn.
![xy − 2x − 2y = 2 (x− 2)(y− 2)− 4 = 2 (x− 2)(y− 2) = 6.](https://img.zadania.info/zad/2981527/HzadR1x.gif)
Ponieważ i
są liczbami całkowitymi mamy stąd 8 możliwości
![(x − 2 ,y − 2 ) = (− 6,− 1) ⇒ (x,y) = (− 4 ,1 ) (x − 2 ,y − 2 ) = (− 3,− 2) ⇒ (x,y) = (− 1 ,0 ) (x − 2 ,y − 2 ) = (− 2,− 3) ⇒ (x,y) = (0 ,−1 ) (x − 2 ,y − 2 ) = (− 1,− 6) ⇒ (x,y) = (1 ,−4 ) (x − 2 ,y − 2 ) = (1,6) ⇒ (x,y ) = (3,8) (x − 2 ,y − 2 ) = (2,3) ⇒ (x,y ) = (4,5) (x − 2 ,y − 2 ) = (3,2) ⇒ (x,y ) = (5,4) (x − 2 ,y − 2 ) = (6,1) ⇒ (x,y ) = (8,3).](https://img.zadania.info/zad/2981527/HzadR4x.gif)
Rozwiązania z zerem musimy oczywiście odrzucić.
Sposób II
Tym razem przekształcamy równanie tak, aby wyznaczyć jedną niewiadomą w zależności od drugiej.
![xy = 2x + 2y + 2 x (y − 2 ) = 2y + 2 / : (y− 2) 2y-+-2- 2y-−-4-+-6- --6--- x = y− 2 = y − 2 = 2+ y− 2.](https://img.zadania.info/zad/2981527/HzadR5x.gif)
Po drodze dzieliliśmy przez – mogliśmy tak zrobić, bo łatwo sprawdzić, że dla
równanie jest sprzeczne. Powyższa równość oznacza, że
musi być dzielnikiem 6, czyli
![y− 2 ∈ {− 6,− 3,− 2,− 1,1,2,3,6 } ⇒ y ∈ {− 4,− 1,0,1 ,3 ,4,5,8}](https://img.zadania.info/zad/2981527/HzadR9x.gif)
Wtedy odpowiednio
![x− 2 ∈ {− 1,− 2,− 3,− 6,6,3,2,1 } ⇒ x ∈ {1,0 ,−1 ,−4 ,8,5,4,3}](https://img.zadania.info/zad/2981527/HzadR10x.gif)
Rozwiązania z zerem odrzucamy i otrzymujemy dokładnie te same rozwiązania, co w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: