Zadanie nr 6296453
Uzasadnij, że równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich
.
Rozwiązanie
Sposób I
Zauważmy, że jeżeli , to
![3 x(x + 1 )(x+ 2) > x ⋅x⋅ x = x .](https://img.zadania.info/zad/6296453/HzadR1x.gif)
Z drugiej strony
![2 x(x+ 1)(x + 2) = (x + x )(x+ 2) = = x 3 + 3x 2 + 2x < x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x+ 1)3.](https://img.zadania.info/zad/6296453/HzadR2x.gif)
To oznacza, że lewa strona równania jest wewnątrz przedziału o końcach i
, a przedział ten nie zawiera sześcianów liczb całkowitych. Dane równanie jest więc sprzeczne.
Sposób II
Zauważmy, że na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy
![( ) 2 x(x + 2 ) < x+--(x+--2)- = (x + 1)2. 2](https://img.zadania.info/zad/6296453/HzadR5x.gif)
Stąd
![3 x(x + 1)(x+ 2) < (x + 1) .](https://img.zadania.info/zad/6296453/HzadR6x.gif)
Dalszą część rozwiązania przeprowadzamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Sposób III
Tak jak w pierwszym sposobie zauważamy, że
![3 x(x + 1 )(x+ 2) > x .](https://img.zadania.info/zad/6296453/HzadR7x.gif)
Ponadto
![x(x + 1)(x + 2 ) < (x+ 2)(x + 2)(x + 2) = (x + 2 )3.](https://img.zadania.info/zad/6296453/HzadR8x.gif)
Jedyny sześcian liczby całkowitej, który spełnia te dwie nierówności, to . Mamy zatem
![3 x(x + 1 )(x+ 2) = (x + 1) / : (x+ 1) x (x+ 2) = (x + 1)2 2 2 x + 2x = x + 2x + 1 0 = 1.](https://img.zadania.info/zad/6296453/HzadR10x.gif)
Dane równanie jest więc sprzeczne.