/Konkursy/Zadania/Równania/W liczbach całkowitych

Zadanie nr 6983037

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli liczby całkowite a i b spełniają równanie

2 2 a = 3b + 9

to liczba b dzieli się przez 3, a liczba a nie dzieli się przez 9.

Rozwiązanie

Zauważmy, że prawa strona danej równości dzieli się przez 3, zatem a też musi dzielić się przez 3. Zatem a = 3a 1 dla pewnej liczby całkowitej a1 . Podstawiając to wyrażenie w danej równości otrzymujemy

9a21 = 3b2 + 9 / : 3 2 2 3a1 = b + 3

Teraz widać, że liczba b też musi dzielić się przez 3. Zatem b = 3b1 dla pewnego b 1 . Podstawiamy to wyrażenie.

3a2 = 9b2 + 3 / : 3 1 1 a21 = 3b21 + 1.

Zauważmy teraz, że gdyby a1 dzieliło się przez 3, to otrzymalibyśmy, że 1 dzieli się przez 3, co nie jest możliwe. Zatem a1 nie dzieli się przez 3, czyli a = 3a1 nie dzieli się przez 9.

Wersja PDF