/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Schemat Bernoullego

Zadanie nr 3121021

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wojtek i Łukasz postanowili rozegrać między sobą dziesięć partii gry w rzutki. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Wojtka jest trzy razy większe, niż prawdopodobieństwo wygrania partii przez Łukasza i każda partia kończy się zwycięstwem jednego z zawodników. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że Wojtek nie wygrał wszystkich partii, ale wygrał ich co najmniej 7. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Rozwiązanie

Zadanie możemy rozwiązać przy pomocy schematu Bernoulliego. Pojedyncza próba to jedna partia rzutków. Prawdopodobieństwo sukcesu w takiej próbie (czyli prawdopodobieństwo wygranej Wojtka) wynosi p = 34 (bo nie ma remisów). Zatem prawdopodobieństwo uzyskania 7, 8 lub 9 sukcesów w 10 próbach to

( 10) ( 10) ( 10) P(A ) = p7(1 − p )3 + p8(1 − p )2 + p9(1 − p ) = 7 ( ( ) 8 ( ) 9 ( ) ) 7 10 2 1 0 10 2 = p (1− p ) (1− p) + p (1− p)+ p = ( 3 2 ) 1 37- 1- 10⋅-9⋅8- -1- 10-⋅9- 3- 1- 3-2 = 47 ⋅ 4 ⋅ 3! ⋅4 2 + 2 ⋅4 ⋅4 + 10 ⋅4 2 = 7 8 3-- 3⋅5- 3-⋅5- -754515-- = 48 ⋅ 42 ⋅(8 + 9 + 6) = 410 ⋅2 3 = 104 8576

 
Odpowiedź: -754515- 1048576

Wersja PDF