Zadanie nr 7978714
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch jedynek lub trzech szóstek w doświadczeniu losowym, polegającym na pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
Rozwiązanie
Niech oznacza zdarzenie polegające na otrzymaniu dokładnie dwóch jedynek, a
zdarzenie polegające na otrzymaniu dokładnie trzech szóstek.
Sposób I
Za zdarzenia sprzyjające przyjmijmy ciągi długości 5 otrzymanych liczb oczek. Mamy zatem
![|Ω| = 6 ⋅6 ⋅6⋅ 6⋅6 = 65 = 7776 .](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR2x.gif)
Policzmy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu . W zdarzeniach tych mają być dokładnie dwie jedynki – ich miejsca możemy wybrać na
![( ) 5 5-⋅4 2 = 2 = 1 0](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR4x.gif)
sposobów. Na każdym z pozostałych trzech miejsc może być jedna z liczb: 2,3,4,5,6. Daje to (zasada mnożenia)
![|A | = 10⋅ 5⋅5 ⋅5 = 1 250.](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR5x.gif)
Podobnie obliczamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu . Miejsca dla 6-tek możemy wybrać na
![( ) 5 = 5⋅-4⋅3-= 10 3 3!](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR7x.gif)
sposobów, do tego na każdym z pozostałych miejsc mamy 5 możliwości, czyli jest
![|B | = 10 ⋅5⋅5 = 250](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR8x.gif)
zdarzeń sprzyjających .
To co mamy obliczyć to prawdopodobieństwo zdarzenia , zanim to jednak zrobimy obliczmy ile jest zdarzeń sprzyjających zdarzeniu
. W zdarzeniach takich musimy mieć dwie jedynki i trzy szóstki. Miejsca jedynek możemy wybrać na
![( ) 5 2 = 10](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR12x.gif)
sposobów, więc . Stąd
![|A ∪ B| = |A |+ |B |− |A ∩ B | = 1250 + 250 − 10 = 1490](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR14x.gif)
i prawdopodobieństwo wynosi
![1490- 74-5- P(A ∪ B) = 7776 = 3888 .](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR15x.gif)
Sposób II
Korzystamy ze schematu Bernoullego. Jeżeli za sukces uznamy otrzymanie jedynki przy rzucie kostką, to prawdopodobieństwo sukcesu jest równe
![1- 6.](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR16x.gif)
Prawdopodobieństwo dwóch sukcesów w 5 próbach jest równe
![( ) ( ) ( ) 5 1 2 1 3 5 ⋅4 1 53 2 ⋅54 P(A ) = -- ⋅ 1− -- = ---- ⋅--2 ⋅-3-= ---5-. 2 6 6 2 6 6 6](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR17x.gif)
Podobnie obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia – tym razem za sukces przyjmijmy otrzymanie szóstki. Prawdopodobieństwo trzech sukcesów jest równe
![( ) ( ) 3 ( ) 2 5 1- 1- 5-⋅4⋅3- 1-- 52- 2⋅53- P(B ) = 3 6 ⋅ 1 − 6 = 3 ⋅2 ⋅ 63 ⋅ 62 = 65 .](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR19x.gif)
Mamy obliczyć , nie jest to jednak
, bo zdarzenia te nie są rozłączne. Zastanówmy się jakie jest prawdopodobieństwo
. W zdarzeniach tego typu musimy wylosować 3 szóstki i 2 jedynki. Miejsca dla 2 jedynek możemy wybrać na
![( ) 5 = 5-⋅4 = 1 0 2 2](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR23x.gif)
sposobów i jest to jedyna możliwość manewru, na pozostałych 3 miejscach muszą być 6-ki. Zatem
![10- P (A ∩ B) = 65.](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR24x.gif)
Mamy stąd
![2⋅-54 2-⋅53 10- P(A ∪ B) = P (A )+ P (B) − P (A ∩ B) = 65 + 65 − 65 = 1250 + 250 − 10 1490 745 = ----------------= -----= -----. 6 5 65 38 88](https://img.zadania.info/zad/7978714/HzadR25x.gif)
Odpowiedź: