Zadanie nr 9272780
Rzucono dziesięć razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że już w pierwszym rzucie wypadła szóstka, jeśli w ogóle wypadły trzy szóstki.
Rozwiązanie
Sposób I
To co mamy policzyć to prawdopodobieństwo warunkowe
![P (A ∩ B ) P (A |B ) = ----------, P(B )](https://img.zadania.info/zad/9272780/HzadR0x.gif)
gdzie jest zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu 6 za pierwszym razem, a
zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu 3 szóstek w 10 rzutach.
Możemy myśleć, że mamy schemat Bernoulliego, gdzie za sukces przyjmujemy wyrzucenie szóstki (czyli prawdopodobieństwo sukcesu jest równe ). Prawdopodobieństwo otrzymania 3 sukcesów w 10 próbach jest równe
![( ) 10 3 7 10-⋅9-⋅8 -1- 57- 15-⋅8⋅-57 P (B) = 3 p (1− p) = 2 ⋅3 ⋅63 ⋅67 = 610 .](https://img.zadania.info/zad/9272780/HzadR4x.gif)
Obliczymy teraz , czyli prawdopodobieństwo 3 szóstek w 10 rzutach, przy czym jedna z nich jest na pierwszym miejscu. Szóstka na pierwszym miejscu pojawia się z prawdopodobieństwem
, a prawdopodobieństwo otrzymania 2 szóstek w pozostałych 9 rzutach liczymy ze schematu Bernoulliego.
![1 ( 9) 1 57 9⋅8 57 9 ⋅4 ⋅57 P (A ∩ B ) = --⋅ ---⋅---= ----⋅ ---= --------. 6 2 62 67 2 610 610](https://img.zadania.info/zad/9272780/HzadR7x.gif)
Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi
![7 P-(A-∩-B-) -9⋅46⋅150- 9-⋅4-- -3- P (A |B ) = P(B ) = 15⋅8⋅57-= 15⋅ 8 = 1 0. 610](https://img.zadania.info/zad/9272780/HzadR8x.gif)
Sposób II
Przyjmijmy za zdarzenia elementarne ciągi otrzymanych liczb oczek, przy czym od razu zakładamy, że wśród otrzymanych wyników są dokładnie 3 szóstki. Obliczmy ile jest takich ciągów: pozycje 6-tek możemy wybrać na
![( ) 10 10⋅ 9⋅8 = --------= 10 ⋅3⋅ 4 = 120 3 3!](https://img.zadania.info/zad/9272780/HzadR9x.gif)
sposobów, a na pozostałych 7 miejscach wyniki są dowolne, ale różne od 6. Zatem
![7 |Ω | = 1 20⋅5 .](https://img.zadania.info/zad/9272780/HzadR10x.gif)
W zdarzeniach sprzyjających na pierwszym miejscu jest 6. Miejsca pozostałych dwóch 6-tek możemy wybrać na
![( ) 9 9-⋅8 2 = 2 = 3 6](https://img.zadania.info/zad/9272780/HzadR11x.gif)
sposobów, a na pozostałych 7 miejscach wyniki są dowolne, ale różne od 6. Jest więc
![7 36 ⋅5](https://img.zadania.info/zad/9272780/HzadR12x.gif)
zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo
![3 6⋅57 36 3 p = ------7-= ----= --. 120 ⋅5 120 10](https://img.zadania.info/zad/9272780/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: