/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Schemat Bernoullego

Zadanie nr 9984789

Dwaj równorzędni przeciwnicy grają w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne:

  • wygranie dwóch partii z trzech, czy czterech partii z sześciu rozegranych?
  • wygranie nie mniej niż dwóch partii z trzech, czy nie mniej niż czterech partii z sześciu rozegranych? (Remisów nie uwzględniamy.)
Wersja PDF

Rozwiązanie

Aby zadanie było prostsze, lepiej sobie myśleć, że rzucamy symetryczną monetą, jeżeli wypada reszka to wygrywa pierwszy, jeżeli orzeł to drugi. W szczególności widać, że zadanie można rozwiązać zwykłym schematem Bernoulliego.

Za zdarzenia elementarne przyjmujemy uporządkowany ciąg wyników kolejnych rzutów (partii). Zatem

n |Ω | = 2 ,

gdzie n –ilość prób. Umówmy się ponadto, że reszka to sukces.

  • Szukane prawdopodobnieństwa wynoszą odpowiednio (schemat Bernoulliego)
    ( 3) ( 1 )2 ( 1) 3 -- -- = -- 2 2 2 8 ( 6) ( 1 )4 ( 1) 2 15 24 3 -- -- = ---< ---= -. 4 2 2 64 64 8

     
    Odpowiedź: Dwóch partii z trzech

  • Jak wyżej, prawdopodobieństwa wynoszą odpowiednio
    ( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) 3 3 1- 1- + 3 1- = 4-= 1- 2 2 2 3 2 8 2 ( ) ( )4 ( ) 2 ( ) ( ) 5( ) ( ) ( ) 6 6 1- 1- + 6 1- 1- + 6 1- = 1-5+-6-+-1-= 22-< 1. 4 2 2 5 2 2 6 2 64 64 2

     
    Odpowiedź: Nie mniej niż dwóch partii z trzech

Wersja PDF