Zadanie nr 9304850
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych oraz
równanie
![1 1 1 ------+ ------= -- x − a x − b m](https://img.zadania.info/zad/9304850/HzadT2x.gif)
ma dwa różne rozwiązania.
Rozwiązanie
Przekształcamy dane równanie
![x − b + x − a 1 ---------------= -- (x − a)(x − b) m (2x− a− b)m = (x − a)(x − b) 2 2xm − (a+ b)m = x − (a+ b)x+ ab x2 − (a+ b+ 2m )x + ab + am + bm Δ = (a + b + 2m )2 − 4(ab + am + bm ).](https://img.zadania.info/zad/9304850/HzadR0x.gif)
Wyrażenie możemy obliczyć wymnażając dwa nawiasy, ale możemy też skorzystać ze wzoru
![(x+ y+ z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz .](https://img.zadania.info/zad/9304850/HzadR2x.gif)
Mamy więc
![Δ = a2 + b2 + 4m 2 + 2ab + 4am + 4bm − 4ab − 4am − 4bm = = a2 + b2 − 2ab + 4m 2 = (a − b)2 + 4m 2.](https://img.zadania.info/zad/9304850/HzadR3x.gif)
Ponieważ z założenia , więc
, co oznacza, że równanie ma zawsze dwa pierwiastki. Nie jest to jednak całkiem koniec, bo musimy sprawdzić, czy jeden z tych pierwiastków to nie jest przypadkiem
lub
(liczby te nie należą do dziedziny równania). Sprawdzamy podstawiając
i
w otrzymanym równaniu kwadratowym.
![2 a − (a+ b+ 2m ) ⋅a + ab + am + bm = − 2am + am + bm = m (b − a) ⁄= 0 b2 − (a+ b+ 2m ) ⋅b + ab + am + bm = − 2bm + am + bm = m(a − b) ⁄= 0.](https://img.zadania.info/zad/9304850/HzadR10x.gif)
Zatem rzeczywiście pierwiastkiem nie może być ani liczba , ani
.