Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9776118

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji  -1 f (x) = x2 .


PIC


Przeprowadzono prostą równoległą do osi Ox , która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B . Niech C = (3,− 1) . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Dorysujmy punkty A ,B,C .


PIC


Sposób I

Powiedzmy, że pozioma prosta, o której mowa w treści zadania ma równanie  2 y = m , gdzie m > 0 (oznaczamy  2 y = m , a nie y = m , żeby nie mieć pierwiastków przy wyliczaniu x -ów). W takim razie punkty A i B mają współrzędne: A = (− 1m,m 2) oraz B = ( 1m,m 2) . W takim razie

AB = 2-, m

a wysokość trójkąta ABC opuszczona na bok AB ma długość m 2 + 1 . Możemy więc policzyć pole

 1- -2 2 m-2 +-1 P = 2 ⋅m ⋅(m + 1) = m .

Pozostało sprawdzić, że P ≥ 2 . Liczymy

m-2 +-1 m ≥ 2 / ⋅m 2 m + 1 ≥ 2m m2 − 2m + 1 ≥ 0 2 (m − 1) ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa co kończy uzasadnienie (bo przekształcaliśmy przy pomocy równoważności).

Sposób II

Tym razem oznaczmy pierwsze współrzędne punktów A i B przez − x i x , gdzie x > 0 . Wtedy punkty te mają współrzędne  1 (−x ,x2) oraz  1 (x,x2) . Przy tych oznaczeniach długość odcinka AB to 2x , a wysokość trójkąta ABC to 1 + -12 x . W takim razie pole trójkąta ABC jest równe

 ( ) 1- 1-- 1- PABC = 2 ⋅2x ⋅ 1+ x2 = x + x .

Pozostało wykazać, że liczba ta jest nie mniejsza niż 2. Przekształcamy przy pomocy równoważności.

 1 x+ --≥ 2 / ⋅x 2 x x + 1 ≥ 2x x2 − 2x + 1 ≥ 0 (x− 1)2 ≥ 0
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!