Zadanie nr 9776118

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji -1 f (x) = x2 .

Przeprowadzono prostą równoległą do osi , która przecięła wykres tej funkcji w punktach i . Niech C = (3,− 1) . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.

Rozwiązanie

Dorysujmy punkty A ,B,C .

Sposób I

Powiedzmy, że pozioma prosta, o której mowa w treści zadania ma równanie 2 y = m , gdzie m > 0 (oznaczamy 2 y = m , a nie y = m , żeby nie mieć pierwiastków przy wyliczaniu -ów). W takim razie punkty i mają współrzędne: A = (− 1m,m 2) oraz B = ( 1m,m 2) . W takim razie

AB = 2-, m

a wysokość trójkąta ABC opuszczona na bok ma długość m 2 + 1 . Możemy więc policzyć pole

1- -2 2 m-2 +-1 P = 2 ⋅m ⋅(m + 1) = m .

Pozostało sprawdzić, że P ≥ 2 . Liczymy

m-2 +-1 m ≥ 2 / ⋅m 2 m + 1 ≥ 2m m2 − 2m + 1 ≥ 0 2 (m − 1) ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa co kończy uzasadnienie (bo przekształcaliśmy przy pomocy równoważności).

Sposób II

Tym razem oznaczmy pierwsze współrzędne punktów i przez − x i , gdzie x > 0 . Wtedy punkty te mają współrzędne 1 (−x ,x2) oraz 1 (x,x2) . Przy tych oznaczeniach długość odcinka to , a wysokość trójkąta ABC to 1 + -12 x . W takim razie pole trójkąta ABC jest równe