Zadanie nr 3906229

Dana jest funkcja określona wzorem 5−4x- f(x) = 3+ 2x2 dla każdej liczby rzeczywistej , oraz dwie liczby: 0 > a > b > − 1 2 . Oblicz wartość wyrażenia

f (a) f(b) |f(b)-−-f(a)| − |f(a)-−-f(b-)|.

Rozwiązanie

Dane wyrażenie możemy zapisać w postaci

f (a) f(b) f(a) f(b ) ------------- − ------------- = ------------------− ------------- = |f(b) − f(a)| |f(a) − f(b )| |− (f (a)− f(b))| |f(a)− f(b)| f(a ) f (b) f (a)− f(b) = ------------- − ------------- = -------------. |f(a)− f(b)| |f(a) − f(b)| |f (a)− f(b)|

Zanim przekształcimy to wyrażenie dalej, musimy ustalić jaki jest znak liczby f (a)− f (b) . W tym celu liczymy pochodną funkcji .

′ (5 − 4x )′(3 + 2x 2)− (5 − 4x )(3+ 2x2)′ f (x) = ---------------(3+--2x2)2---------------= −-4(3-+-2x-2)−-(5-−-4x-)⋅4x- −-12-−-8x-2 −-20x-+-16x2 = (3 + 2x2)2 = (3 + 2x 2)2 = 2 2 = 8x--−-2-0x−--12 = 4⋅ 2x-−--5x-−-3. (3+ 2x2)2 (3+ 2x2)2

Rozkładamy jeszcze trójmian w liczniku otrzymanego ułamka.

Δ = 25 + 24 = 4 9 5-−-7- 1- 5+--7- x = 4 = − 2 lub x = 4 = 3.

Mamy zatem

( ) 2 x+ 12 (x− 3) f ′(x) = 4⋅ -----------------. (3 + 2x2)2

W szczególności, pochodna funkcji jest ujemna w przedziale ( ) − 12 ,0 , czyli funkcja jest malejąca w tym przedziale. To oznacza, że f(a) < f(b ) (bo a > b z założenia) oraz dane wyrażenie jest równe