Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=frac{5-4x}{3+2x^2}... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 3906229

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Funkcje/Wymierna/Różne

Zadanie nr 3906229

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem $5−4x- f(x) = 3+ 2x2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , oraz dwie liczby: $0 > a > b > − 1 2$ . Oblicz wartość wyrażenia

f (a) f(b) |f(b)-−-f(a)| − |f(a)-−-f(b-)|.

Rozwiązanie

Dane wyrażenie możemy zapisać w postaci

f (a) f(b) f(a) f(b ) ------------- − ------------- = ------------------− ------------- = |f(b) − f(a)| |f(a) − f(b )| |− (f (a)− f(b))| |f(a)− f(b)| f(a ) f (b) f (a)− f(b) = ------------- − ------------- = -------------. |f(a)− f(b)| |f(a) − f(b)| |f (a)− f(b)|

Zanim przekształcimy to wyrażenie dalej, musimy ustalić jaki jest znak liczby $f (a)− f (b)$ . W tym celu liczymy pochodną funkcji $f$ .

′ (5 − 4x )′(3 + 2x 2)− (5 − 4x )(3+ 2x2)′ f (x) = ---------------(3+--2x2)2---------------= −-4(3-+-2x-2)−-(5-−-4x-)⋅4x- −-12-−-8x-2 −-20x-+-16x2 = (3 + 2x2)2 = (3 + 2x 2)2 = 2 2 = 8x--−-2-0x−--12 = 4⋅ 2x-−--5x-−-3. (3+ 2x2)2 (3+ 2x2)2

Rozkładamy jeszcze trójmian w liczniku otrzymanego ułamka.

Δ = 25 + 24 = 4 9 5-−-7- 1- 5+--7- x = 4 = − 2 lub x = 4 = 3.

Mamy zatem

( ) 2 x+ 12 (x− 3) f ′(x) = 4⋅ -----------------. (3 + 2x2)2

W szczególności, pochodna funkcji $f$ jest ujemna w przedziale $( ) − 12 ,0$ , czyli funkcja $f$ jest malejąca w tym przedziale. To oznacza, że $f(a) < f(b )$ (bo $a > b$ z założenia) oraz dane wyrażenie jest równe