Funkcja f określona jest wzorem f(x)=frac{8x}{x^2+1}. Wykaż,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 9366836

Zadanie nr 9366836

Funkcja $f$ określona jest wzorem $-8x- f(x ) = x2+1$ .

Rozwiązanie

Aby usasadnić, że funkcja jest nieparzysta musimy sprawdzić, że zachodzi równość $f(−x ) = −f (x)$ . Liczymy $--8(−x--)-- --8x--- f(−x ) = (−x )2 + 1 = − x2 + 1 = −f (x).$
Musimy pokazać, że jeżeli $1 < x 1 < x2$ to $f (x2) < f(x1)$ . Liczymy $8x1 8x2 8x 1(x22 + 1)− 8x2(x21 + 1) f(x 1)− f (x2) = --2----− -2-----= -------2--------2--------- = x 1 + 1 x2 + 1 (x1 + 1)(x 2 + 1) 8x1x2(x2-−-x1)-−-8(x2-−-x1)- (x2-−-x1)(8x1x-2 −-8-) = (x 2+ 1)(x 2+ 1 ) = (x2 + 1)(x2 + 1) > 0. 1 2 1 2$
W ostatniej nierówności skorzystaliśmy z tego, że mianownik jest dodatni, $x2 > x 1$ i $x 1,x2 > 1$ .
Zobaczmy co dokładnie mamy wykazać $8x -2-----≤ 4 x + 1 8x ≤ 4(x 2 + 1 ) 2 2x ≤ x + 1 0 ≤ x2 − 2x + 1 = (x− 1)2.$
Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnego $x ∈ R$ , zatem $f(x) ≤ 4$ dla dowolnego $x ∈ R$ .