Zadanie nr 2919461

Sześcian największej z czterech różnych liczb całkowitych, tworzących rosnący ciąg arytmetyczny o wyrazach dodatnich, jest równy sumie sześcianów pozostałych liczb. Wykaż, że iloczyn dwóch z tych liczb jest o 60% większy od iloczynu dwóch pozostałych.

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy kolejne wyrazy ciągu, o którym mowa w treści zadania przez a,a + r,a + 2r,a + 3r , to największym wyrazem tego ciągu jest a+ 3r i wiemy, że liczby te spełniają warunek

a3 + (a+ r)3 + (a + 2r)3 = (a + 3r)3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 a + (a + 3a r+ 3ar + r ) + (a + 6a r + 12ar + 8r ) = a + 9a r + 27ar + 27r 2a3 − 12ar2 − 18r3 = 0 / : 2 3 2 3 a − 6ar − 9r = 0.

Otrzymane równanie rozwiążemy na dwa sposoby.

Sposób I

Wiemy, że ciąg jest rosnący, więc r > 0 . Podzielmy otrzymane równanie przez .

0 = a3 − 6ar2 − 9r3 / : r3 3 ( ) 0 = a--− 6⋅ a− 9 = a-3 − 6 ⋅ a-− 9. r3 r r r

Podstawmy teraz x = ar .

0 = x 3 − 6x − 9

Szukamy pierwiastków całkowitych tego równania – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Jednym z pierwiastków jest x = 3 , więc dzielimy wielomian z prawej strony przez (x − 3) . My zrobimy to grupując wyrazy.

x3 − 6x − 9 = x 3 − 3x 2 + 3x2 − 9x + 3x − 9 = x 2(x− 3)+ 3x(x − 3) + 3(x − 3) = 2 = (x + 3x + 3)(x− 3).

Trójmian w pierwszym nawiasie nie ma pierwiastków, bo Δ = 9 − 12 = − 3 < 0 . Zatem

3 = x = a- ⇒ a = 3r r

i dany ciąg to

(a,a + r,a + 2r,a+ 3r) = (3r,4r,5r,6r).

W szczególności

4r⋅-6r = 8-= 1,6 = 16 0% . 3r⋅ 5r 5

To oznacza, że iloczyn 4r ⋅6r jest o 60% większy od iloczynu 3r⋅5r .

Sposób II

Jeżeli równanie potraktujemy jak równanie zmiennej z parametrem , to ewentualnych rozwiązań szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego 9r 3 . Widać też, że rozwiązanie musi zawierać (bo inaczej nie wyzerują się składniki z ). Najprostsze dzielniki wyrazu wolnego tej postaci to ± r i ± 3r . Sprawdzając po kolei możemy zauważyć, że równanie jest spełnione przez a = 3r – mamy wtedy