/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 4590026

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że liczby √ -- √ -- a = 3 − 3 2 , ∘ -----√--- b = 5 − 2 6 i ---1--- c = √3− √2 są w podanej kolejności kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

√ -- √ -- √ -- √ -- c = √---1-√---= --3-+---2-= 3 + 2. 3− 2 3 − 2

Musimy sprawdzić, czy 2b = a + c . Liczymy

∘ --------- 2 5− 2 √ 6=? √ 3-− 3√ 2-+ √ 3-+ √ 2-= 2 √ 3− 2√ 2- ∘ --------- √ --? √ -- √ -- 5 − 2 6= 3− 2.

Obie strony są dodatnie, więc możemy podnieść tę równość stronami do kwadratu.

√ -- √ -- 5 − 2 6 =? 3− 2 6+ 2 0 = 0 .

Otrzymaliśmy prawdziwą równość, zatem podane liczby istotnie są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF