/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 5478645

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dwie dowolne liczby rzeczywiste i ich suma tworzą ciąg arytmetyczny (niekoniecznie w takiej kolejności). Wykaż, że jedna z tych liczb jest dwukrotnością drugiej liczby lub, że liczby te są liczbami przeciwnymi.

Rozwiązanie

Suma dwóch danych liczb może być ustawiona z nimi w ciąg arytmetyczny na 3 sposoby (na początku, w środku , lub na końcu). Mamy w takim razie do rozpatrzenia 3 przypadki.

Jeżeli ciąg (a + b,a,b) jest arytmetyczny, to

2a = (a+ b )+ b ⇒ a = 2b.

Jeżeli ciąg (a ,a+ b ,b) jest arytmetyczny, to

2(a+ b) = a + b ⇒ a = −b .

Jeżeli ciąg (a ,b,a+ b) jest arytmetyczny, to

2b = a+ (a + b ) ⇒ b = 2a.
Wersja PDF