/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 8406564

Ciągi (an) i (bn) , gdzie n ≥ 1 , są ciągami arytmetycznymi. Ciąg (cn) jest określony wzorem cn = anbn , dla n ≥ 1 , a ciąg (dn) ciągiem różnic dwóch kolejnych wyrazów ciągu (cn) : dn = cn+ 1 − cn , dla n ≥ 1 . Wykaż, że ciąg (dn ) jest ciągiem arytmetycznym, którego różnica jest równa podwojonemu iloczynowi różnic ciągów (an) i (bn) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Niech ra i rb będą różnicami odpowiednio ciągów (an) i (bn) , tzn.

a − a = r n+1 n a bn+1 − bn = rb

dla n ≥ 1 . Mamy wtedy

dn+1 − dn = cn+2 − cn+1 − (cn+1 − cn) = cn+ 2 − 2cn+1 + cn = = a b − 2a b + anbn = n+2 n+ 2 n+1 n+ 1 = (an + 2ra)(bn + 2rb)− 2(an + ra)(bn + rb) + anbn = = anbn + 2anrb + 2bnra + 4rarb − 2anbn − 2anrb − 2bnra − 2rarb + anbn = = 4rarb − 2rarb = 2rarb.

To dowodzi, że rzeczywiście ciąg (d ) n jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2rarb .

Wersja PDF