/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 8879527

Liczby -1---1-- -1-- a+b,a+c ,b+c , gdzie (a + b)(a + c)(b + c) ⁄= 0 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że liczby a2,b2,c2 są również wyrazami ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że

2 1 1 ----- = ------+ ----- / ⋅(a+ b)(a+ c)(b + c) a + c a+ b b + c 2(a + b)(b + c) = (a + c)(b + c)+ (a+ b)(a+ c) 2 2 2 2(ab + ac + b + bc) = ab + ac + cb + c + a + ac+ ba+ bc 2b2 = a2 + c2.

Otrzymana równość oznacza oczywiście, że liczby 2 2 2 a ,b ,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF