Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9337751

Dany jest ciąg (an) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 12(7n2 − n) . Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Wykaż, że (an) jest ciągiem arytmetycznym.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) przez  1 2 Sn = 2(7n − n) . W takim razie

an = (a1 + a2 + ⋅ ⋅⋅+ an) − (a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an−1) = Sn − Sn −1 = 1- 2 1- 2 = 2(7n − n )− 2(7(n − 1) − (n − 1)) = 1 ( ) = -- 7n2 − n − (7n 2 − 1 4n + 7− n + 1) = 2 1- = 2 (1 4n − 8) = 7n − 4 .

Powyższy rachunek ma sens o ile n ≥ 2 . Dla n = 1 mamy a1 = S1 = 3 – zauważmy, że zgadza się to ze wzorem an = 7n − 4 , więc możemy go używać również dla n = 1 .

W szczególności mamy

a20 = 7⋅2 0− 4 = 140 − 4 = 1 36.

Aby wykazać, że ciąg (an) jest arytmetyczny musimy uzasadnić, że różnica jego kolejnych dwóch wyrazów jest stała, tzn. nie zależy od n . Liczymy

an +1 − an = 7(n + 1) − 4 − (7n − 4 ) = 7.

Widać, że zgodnie z oczekiwaniem, różnica jest stała.  
Odpowiedź: a20 = 13 6

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!