Podział odcinka, w wyniku którego otrzymujemy dwa odcinki takie,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 2618745

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Różne

Zadanie nr 2618745

Podział odcinka, w wyniku którego otrzymujemy dwa odcinki takie, że stosunek długości krótszego z nich do długości dłuższego jest równy stosunkowi długości dłuższego odcinka do długości wyjściowego odcinka, nazywamy złotym podziałem odcinka.

Odcinek $AB$ podzielono na dwa odcinki o długościach $√ -- 2 5$ i $√ -- 5− 5$ . Rozstrzygnij, czy dokonano złotego podziału odcinka $AB$ .
Dokonano złotego podziału odcinka o długości 2. Oblicz długości odcinków, na jakie podzielono dany odcinek.

Rozwiązanie

Ponieważ $√ -- √ -- 2 5 > 5− 5$
musimy sprawdzić, czy
$√ -- √ -- 5-−---5- -----2--5------ 2√ 5 = 2√ 5 + 5 − √ 5 √ -- √ -- 5-−√--5-= √-2--5-- 2 5 5 + 5 √ -- √ -- √ --2 (5 − 5)(5 + 5) = (2 5) 25 − 5 = 4⋅5 20 = 20.$
Zatem jest jest to złoty podział odcinka.
Odpowiedź: Tak, dokonano.
Niech $x$ będzie długością krótszej części. Mamy wtedy równanie $x 2 − x ------= ------ 2 − x 2 2x = (2− x)2 = 4 − 4x + x2 2 x − 6x + 4 = 0 Δ = 36 − 16 = 2 0 √ -- √ -- x = 3− 5 ∨ x = 3 + 5.$
Odrzucamy rozwiązanie większe od 2 i otrzymujemy
$√ -- x = 3 − 5 √ -- 2− x = − 1+ 5.$

Odpowiedź: $√ -- 3 − 5$ i $√ -- 5 − 1$