/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Różne

Zadanie nr 2424396

Dla jakich wartości parametru a parabola 2 y = ax jest styczna do krzywej y = ln x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Krzywe będą styczne, jeżeli funkcja 2 f(x) = ax − ln x będzie miała miejsce zerowe, które jest jednocześnie miejscem zerowym pochodnej (czyli funkcje się przecinają w punkcie, w którym styczne do obu wykresów mają ten sam kierunek). Sprawdźmy jakie są miejsca zerowe pochodnej (bo łatwiej to zrobić niż sprawdzać miejsca zerowe f ).

′ 1 0 = f (x) = 2ax − -- x 2ax = 1- x ∘ --- 1 1 x2 = --- ⇒ x = ---. 2a 2a

Pozostało sprawdzić kiedy jest to miejsce zerowe funkcji f .

( ∘ ---) 2 ∘ --- 0 = a -1- − ln -1- 2a 2a 0 = 1− 1-ln -1- 2 2 2a 1 ln 2a-= 1 -1-= e ⇒ a = 1-. 2a 2e

Na koniec, dla ciekawskich, wykresy obu funkcji.

PIC

 
Odpowiedź: a = 12e

Wersja PDF