Wykaż, że jeżeli ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Na dowodzenie, 2571010

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 18379 zadań, 1147 zestawów, 35 poradników

cornersUpL

cornersUpR

random

Linki sponsorowane

cornersR

/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 2571010

Wykaż, że jeżeli ciąg $(an)$ jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to ciąg o wyrazie ogólnym $bn = logp an$ , dla $p > 0$ i $p ⁄= 1$ jest ciągiem arytmetycznym.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Musimy sprawdzić, czy różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu $(bn )$ jest stała, tzn. nie zależy od $n$ . Liczymy

an+ 1 bn+1 − bn = logp an+1 − logp an = logp -----. an

Ostatnia liczba nie zależy od $n$ , bo $an$ jest ciągiem geometrycznym.

Sposób II

Ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego mamy $n− 1 an = a1q$ , gdzie $a1,q > 0$ . Zatem

n−1 bn = lo gpan = lo gpa1q = logp a1 + (n− 1)logp q.

Widać teraz, że $(bn)$ jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie $lo g a p 1$ i różnicy $lo g q p$ .

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Dodaj komentarz

Legalni bukmacherzy