/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 2571010

Wykaż, że jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to ciąg o wyrazie ogólnym bn = logp an , dla p > 0 i p ⁄= 1 jest ciągiem arytmetycznym.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Musimy sprawdzić, czy różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu (bn ) jest stała, tzn. nie zależy od n . Liczymy

an+ 1 bn+1 − bn = logp an+1 − logp an = logp -----. an

Ostatnia liczba nie zależy od n , bo an jest ciągiem geometrycznym.

Sposób II

Ze wzoru na n –ty wyraz ciągu geometrycznego mamy n− 1 an = a1q , gdzie a1,q > 0 . Zatem

n−1 bn = lo gpan = lo gpa1q = logp a1 + (n− 1)logp q.

Widać teraz, że (bn) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie lo g a p 1 i różnicy lo g q p .

Wersja PDF