/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 6573005

Udowodnij, że jeżeli ciąg (a ,b ,c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny to a = b = c .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że 2b = a + c i 2 b = ac . Podstawiając z pierwszego równania do drugiego za b mamy

2 4b = 4ac (a + c)2 = 4ac a2 + 2ac + c2 = 4ac 2 2 a − 2ac + c = 0 (a − c)2 = 0.

Zatem a = c . Mamy więc 2b = a + c = 2a , czyli b = a .

Sposób II

Ponieważ a ,b i c tworzą ciąg geometryczny, to b = aq ic = aq2 . Mamy wtedy

2b = a + c 2 2aq = a + aq a(q2 − 2q+ 1) = 0 a(q− 1)2 = 0.

Zatem a = 0 lub q = 1 . Każdy z warunków oznacza, że a = b = c .

Sposób III

Ponieważ liczby a,b i c tworzą ciąg arytmetyczny, więc b = a + r , c = a+ 2r . Mamy wtedy

b2 = ac (a + r)2 = a(a + 2r) 2 2 2 a + 2ar+ r = a + 2ar r2 = 0.

Zatem a = b = c .

Wersja PDF